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江蘇省啟東中學 2019~2020 學年度高二數學第一學期第一次月考試卷

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江蘇省啟東中學 20192020 學年度第一學期第一次月考
高二數學試卷(普)
命題人:陳琦
一、選擇題(本題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.每題只有一項是符合題目要求的.)
1.ABC 的內角 A,B,C 所對邊分別為 a,b,c a=3, b ? 3 ,B,A,C 成等差數列,則 B=( )
A. 6
? B. 6
5? C.
6
?
6
5? D. 3
2?
2.一人在打靶中,連續射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )
A. 兩次射擊都不中靶 B. 兩次射擊都中靶 C. 至多有一次中靶 D. 恰有一次中靶
3.直線 y=k(x-1)A(23)B(01)為端點的線段有公共點,則 k 的取值范圍是 ( )
A.[?1,1] B.[?1,3] C. (??,?1]?[3,??) D. (??,?1]?[1,??)
4.已知數列{ }n a 中, 2, 1 a3 ? a7 ? ,又數列 } 1
1 { n ? a
是等差數列,則 11 a 等于 ( )
A. 0 B. 2
1 C.
3
2 D. ?1
5.過點 P(-2,3)向圓 1
2 2
x ? y ? 引圓的兩條切線 PA,PB,則弦 AB 所在的直線方程為 ( )
A. 2x-3y+1=0 B. 2x+3y+1=0 C. 3x+2y+1=0 D. 3x-2y+1=0
6.a,b,c 是空間的三條直線,給出以下五個命題:
①若 a ? b,b ? c ,則 a ? c
②若 a,b 是異面直線,b,c 是異面直線,則 a,c 也是異面直線;
③若 a b 相交,b c 相交,則 a c 也相交;
④若 a b 共面,b c 共面,則 a c 也共面;
a//b,b//c a // c
其中正確的命題的個數是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.定義:若 q n N q a a
a a
n n
n n ( , 1
2 1 ?
?
? ? ? ?
?
? 為非零常數),則稱{ }n a 為“差等比數列”,已知在“差
等比數列”{ }n a 中, a1 ?1a2 ? 2a3 ? 42019 2018 a ? a 的值是 ( )
A.
2019
2 B.
2018
2 C.
2017
2 D.
2016
2
8.在△ABC 中,ABC 的對邊分別為 abc,且 3a 3c 3b 2ac
2 2 2 ? ? ? , BA? BC ? 2 ,則
ABC 的面積為 ( )
A. 2 B. 2
3 C. 2 2 D. 4 2高二數學(普) 第 2頁,共 4
9.過直線 ly=2x+a 上的點作圓 C1
2 2
x ? y ? 的切線,若在直線 l 上存在一點 M,使得過點
M 的圓 C 的切線 MP,MQ(P,Q 為切點)滿足 ?
?PMQ ? 90 ,則 a 的取值范圍是 ( )
A.[?10,10] B.[? 10, 10] C.(??,?10]?[10,??) D.(??,? 10]?[ 10,??)
10.已知等比數列{ }n a an0a1256S3448Tn為數列{an}的前 n 項乘積,則當 Tn
取得最大值時,n= ( )
A.8 B.9 C. 8 9 D. 8.5
二、填空題:(本題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分.)
11.已知點 P1(23)P2(45)A(12),則過點 A 且與點 P1P2距離相等的直線方
程為___________________
12.已知 abc 為△ABC 的三個內角 ABC 的對邊,向量 m ? (?1, 3),n ? (cos A,sin A) ,
m ? n ,且 a cos B ? bcos A ? c sinC ,則角 B 的大小為_______________
13.從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數 a,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數 b,則向量
m ? (a,b) 與向量 n ? (1,?1) 垂直的概率為_____________
14.已知兩個等差數列{ }n a { }n b 的前 n 項和分別為 n S Tn ,且
3
2 70
?
? ?
n
n
T
S
n
n ,則使得
n
n
b
a
為整數的正整數 n 的個數是_________
15.如下圖,在三棱錐 P—ABC 中,已知 PA ? 平面 ABC,△ABC 是邊長為 2 的正三角形,E
PC 的中點,若直線 AE 與平面 PBC 所成角的正弦值為
7
42 ,則 PA 的長為_________
16.分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學.分形的外表結構極為復雜,
但其內部卻是有規律可尋的.一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,
即一種基于遞歸的反饋系統.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖 1,線段 AB
長度為 a,在線段 AB 上取兩個點 C,D,使得 AC DB AB 4
1 ? ? ,以 CD 為一邊在線段 AB 的上
方做一個正六邊形,然后去掉線段 CD,得到圖 2 中的圖形;對圖 2 中的最上方的線段 EF
作相同的操作,得到圖 3 中的圖形;依此類推,我們就得到了以下一系列圖形:
(第 15 題)高二數學(普) 第 3頁,共 4
記第 n 個圖形(1 為第 1 個圖形)中的所有線段長的和為 n S ,現給出有關數列{ }n S 的四個
命題:
①數列{ }n S 是等比數列;
②數列{ }n S 是遞增數列;
③存在最小的正數 a,使得對任意的正整數 n,都有 ? 2018 n S
④存在最大的正數 a,使得對任意的正整數 n,都有 ? 2018 n S
其中真命題的序號是______(請寫出所有真命題的序號)
三、解答題:(70 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.10 分)如圖,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,DE 分別為 BCAC 的中點,AB=BC
求證:(1A1B1∥平面 DEC1
2BEC1E
18.12 分)在△ABC 中,角 ABC 的對邊分別為 abc.且滿足
4
3 ,cos
2
b ? ac B ?
1)求
A tanC
1
tan
1 ? 的值;
2)設
2
3 BA? BC ? ,求三邊 abc 的長度.
19.12 分)已知圓 M 的方程為 2 2 6 0
2 2
x ? y ? x ? y ? ? ,以坐標原點 O 為圓心的圓 O
M 相切.
1)求圓 O 的方程;
2)圓 O x 軸交于 E,F 兩點,圓 O 內的動點 D 使得 DE,DO,DF 成等比數列,求 DE ? DF
的取值范圍.高二數學(普) 第 4頁,共 4
20.12 分)一位幼兒園老師給班上 k(k ? 3) 個小朋友分糖果.她發現糖果盒中原有糖果數
0 a ,就先從別處抓 2 塊糖加入盒中,然后把盒內糖果的 1
2
分給第一個小朋友;再從別處
抓 2 塊糖加入盒中,然后把盒內糖果的 1
3
分給第二個小朋友;…,以后她總是在分給一個
小朋友后,就從別處抓 2 塊糖放入盒中,然后把盒內糖果的 1
n ?1
分給第 n(n ?1,2,3,?k)
小朋友.如果設分給第 n 個小朋友后(未加入 2 塊糖果前)盒內剩下的糖果數為 n a .
1)當 k ? 3 , 0 a ?12 時,分別求 1 2 3 a ,a ,a
2)請用 n 1 a ? 表示 n a (n ?1,2,3,?k) ,令 ( 1) n n b ? n ? a ,求數列{ }n b 的通項公式;
3)是否存在正整數 k(k ? 3) 和非負整數 0 a ,使得數列{ }n a (n k n N )
?
? ? 成等差數
列,如果存在,請求出所有的 k 0 a ,如果不存在,請說明理由.
21.12 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1中,底面△ABC 是直角三角
形, 2 AC ? BC ? AA1 ? ,D 為側棱 AA1的中點.
1)求異面直線 DC1,B1C 所成角的余弦值;
2)求二面角 B1 ? DC ? C1 的平面角的余弦值.
22.(12 分)已知數列{ }n a 的前 n 項和為 n S ,滿足 2 1( )
?
Sn ? an ? n? N ,數列{ }n b 滿足
( 1) ( 1)( ) 1
?
nbn? ? n ? bn? n n ? n? N ,且 1 b1 ?
1)證明數列{ } n
bn 為等差數列,并求數列{ }n a { }n b 的通項公式;
2)若
(3 2log )(3 2log )
4( 1) ( 1) 2 2 1
1
?
?
? ?
? ? ?
n n
n
n
a a
n c ,求數列{ }n c 的前 n 項和T2n
3)若 n n n d ? a ? b ,數列{ }n d 的前 n 項和為 Dn ,對任意的 ?
n? N ,都有 D nS a n ? n ? ,求
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